Esta calle empieza en la plaza de la Constitución y termina en el principio de la calle Duque de la Torre. Antes, y aún a las personas de más edad se les oye nombrarla con su antigua denominación de Torres Bajas, por las torres de antigua muralla que conformaban la puerta de Córdoba y que después descendía hacia la calle Cañuelo.

El  nombre que lleva esta calle en la actualidad se le dio en homenaje al benefactor hijo de Arjona D. Damián Parras Jiménez, que dotó a nuestra ciudad de una importante mejora en el suministro de agua potable, con una red de traída de aguas desde los pozos de Din, obra que fue bendecida e inaugurada en el año 1905.

Mediante un motor eléctrico se subía el agua desde los pozos antes citados, situados a unos cuatro kilómetros de Arjona, hasta los depósitos que se construyeron en el Cerrillo de San Blas, y que aún hoy día siguen sirviendo para la distribución del agua de Quiebrajano, y en breve de la presa del río Víboras.

Desde allí, se distribuían a las fuentes publicas que estaban situadas, una en la confluencia de las calles, Sileras, Pinzon y Colón, la cual existe en la actualidad, aunque su puerta se encuentre inutilizada por una cabina de teléfonos situada junto a ella, otra había al final de la calle Damián Parras, precisamente, y que desapareció al ser derribado el edificio donde se encontraba, las restantes se encontraban en el Parque del General Morales, desparecida, en la Calle Reloj, respetada a pesar de haberse construido un nuevo edificio al que está adosada,  y otra en la calle San Juan que tuvo que ser derruida por encontrarse en mal estado.

A la inauguración de la red de agua potable asistió el clero representando a las dos parroquias, con cruz alzada, Ayuntamiento, autoridades y además todas las Cofradías y Hermandades de la localidad. Cuentan que la única que no asistió fue la Hermandad de los Santos Bonoso y Maximiano, que, en un mal entendido celo de interpretación de sus estatutos por el que la misma no podría asistir fuera de las celebraciones de la propia Hermandad y Fiestas Patronales, a otra que no fuera   la procesión del Corpus.

El Señor Parras Jiménez entendiendo este acto como un desaire hacia su persona y hacia la obra que se inauguraba, mandó hacer una mampara en la que hacía constar "Vivan los Santos Patronos Bonoso y Maximiano. No se recibe a la Hermandad" y la mandó colocar frente a la puerta de entrada de la casa para de esa forma cuando, como ahora, la Hermandad sale en Agosto visitando casa por casa invitando a la fiesta y recogiendo donativos, la Hermandad se diera por enterada de que no era bien recibida.

Allí estuvo la mencionada mampara,  hasta que un grupo de amigos le convencieron de la mala interpretación que había dado a la no asistencia de la Hermandad y entonces fue quitada.

En esta calle había un edificio de gran importancia, al principio de la misma  se encontraba el palacete de D. Luis de Andrada y que fue edificado a principio de siglo, allí estaba el Circulo Artístico, que fue trasladado a la casa de enfrente donde estuvo hasta la terminación de la guerra, y donde posteriormente estuvo el destartalado Cine Calatrava de invierno hasta que hace unos veinticinco años se construyó un edificio nuevo.